№1. Є 4 червоних, 5 білих та 6 блакитних маршрутних такси. На маршрут виїхало 4 таксі. Яка ймовірність того, що: а) всі таксі будуть одного кольору; б) хоча б одна маршрутка виявиться червоною; с) на маршруті будуть 1 червоне, 2 білих та 1 блакитне таксі? Розв’язання: a) Подія А – всі таксі одного кольору. Маємо: б) Подія В – серед 4 маршруток, хоча б одна маршрутка виявиться червоною. Маємо: с) Подія С – на маршруті будуть 1 червоне, 2 білих та 1 блакитне таксі. Маємо: Відповідь: а) 0,015; б) 0,758; с) 0,176. №2. Кожна з двох урн містіть 8 чорних та 2 білих . З другої урни навмання беруть кульку й перекладають її в першу урну. Знайти ймовірність того, що кулька, взята с першої урни, буде чорною. Розв’язок: Подія А – кулька, взята с першої урни, чорна. Гіпотези: переклали біла кулька; переклали чорна кулька. Ймовірності гіпотез: З формулі повної ймовірності маємо: Відповідь: 0,8. №3. Випадкову величину Х задано інтегральною функцією F(Х). Потрібно: - визначити сталу С; - знайти диференціальну функцію f(х); - обчислити математичне сподівання і дисперсію величини Х; - побудувати графіки інтегральної та диференціальної функцій. Розв’язання: Використовуючи властивість інтегральної функції, отримаємо: ; математичне сподівання: дисперсія: № 4. Задано математичне сподівання М[Х]=m та середнє квадратичне відхилення =(D[Х])0,5 випадкової величини Х з нормальним розподілом. Знайти ймовірність того, що: - Х набуде значення , яке належить інтервалу (а; b); - абсолютна величина відхилення Х(m) буде меншою за . m = 11, = 2, а = 9, b = 12, = 2. Розв’язання: Імовірність того, що нормально розподілена випадкова величина х прийняла значення з інтервалу , визначається по наступній формулі: , де функція Лапласу. Тоді №5. Значення з нормальним розподілом випадкової величини Х задано в таблиці . Потрібно: - знайти оцінки її математичного сподівання, дисперсії та середнього квадратного відхилення; - побудувати гістограму та полігон розподілу; - оцінити довірчий інтервал, який з надійністю = 0,95 накриває значення математичного сподівання величини Х. 0,76 1,02 0,52 0,21 0,23 -1,12 -0,44 0,11 0,42 -0,88 0,37 0,07 1,99 1,26 0,73 0,65 0,66 1,29 -0,12 -0,15 0,51 -1,65 1,47 0,57 -1,2 1,84 0,34 0,09 -1,43 -0,43 0,29 0,34 -0,85 -0,03 -0,89 0,08 -0,08 -0,21 -0,64 -0,49 Розв’язання: 1) Оцінкою математичного сподівання випадкової величини Х являється середня арифметична: оцінка її дисперсії: оцінка її середнього квадратного відхилення: 2) Побудуємо гістограму та полігон розподілу. 3) Подуємо довірчий інтервал, який з надійністю = 0,95 накриває значення математичного сподівання величини Х. Визначимо середню помилку вибіркової середньої: При , . . Отже, довірчий інтервал: . Таким чином, з надійністю = 0,95 можна стверджувати, що значення математичного сподівання величини Х у генеральній сукупності знаходиться в середині інтервалу (–0,119; 0,379). ∞
См. работу «Задачі з теорії ймовірностей»